تعیین کنید کدام یک از سهمی‌های زیر ماکزیمم و کدام یک مینیمم دارند. سپس مقدار ماکزیمم یا مینیمم هر یک را مشخص کنید.
الف) $g(x) = -(x + 1)^2 + 3$
ب) $h(x) = x^2 - 4x + 9$
برای یک تابع درجه دوم $f(x) = ax^2 + bx + c$:
* اگر $a > 0$ باشد، سهمی رو به **بالا** باز می‌شود و دارای **مینیمم** است.
* اگر $a < 0$ باشد، سهمی رو به **پایین** باز می‌شود و دارای **ماکزیمم** است.
## الف) تابع $g(x) = -(x + 1)^2 + 3$
این تابع به صورت استاندارد $f(x) = a(x - h)^2 + k$ نوشته شده است که رأس آن $V(h, k)$ است.
**۱. تعیین جهت و نوع اکسترمم**
* ضریب $(x + 1)^2$ برابر با $a = -1$ است. چون $a < 0$ است، سهمی رو به پایین باز می‌شود و دارای **ماکزیمم** است.
**۲. محاسبهٔ مقدار ماکزیمم**
* رأس سهمی $V(-1, 3)$ است. مقدار ماکزیمم برابر با عرض رأس است.
**مقدار ماکزیمم**: $$g_{\text{max}} = 3$$
---
## ب) تابع $h(x) = x^2 - 4x + 9$
این تابع به صورت کلی $ax^2 + bx + c$ نوشته شده است. ($a=1, b=-4, c=9$)
**۱. تعیین جهت و نوع اکسترمم**
* ضریب $x^2$ برابر با $a = 1$ است. چون $a > 0$ است، سهمی رو به بالا باز می‌شود و دارای **مینیمم** است.
**۲. محاسبهٔ مقدار مینیمم**
* مقدار مینیمم برابر با عرض رأس ($y_V$) است. طول رأس ($x_V$) از فرمول $x_V = -\frac{b}{2a}$ به دست می‌آید:
$$x_V = -\frac{-4}{2(1)} = 2$$
* عرض رأس $y_V = h(x_V)$ را محاسبه می‌کنیم:
$$y_V = h(2) = (2)^2 - 4(2) + 9 = 4 - 8 + 9 = 5$$
**مقدار مینیمم**: $$h_{\text{min}} = 5$$
قرار است در کنار یک رودخانه، محوطه‌ای مستطیل شکل ایجاد کنیم. برای این کار لازم است سه ضلع محوطه فنس‌کشی شود. اگر تنها ۱۰۰ متر نرده در اختیار داشته باشیم، ابعاد مستطیل را طوری تعیین کنید که مساحت آن بیشترین مقدار ممکن گردد.
فرض می‌کنیم ابعاد مستطیل $x$ (عرض) و $y$ (طول) باشد. با توجه به شکل، ضلع $y$ موازی با رودخانه است و فنس‌کشی نمی‌شود، و دو ضلع $x$ و یک ضلع $y$ فنس‌کشی می‌شوند.
**۱. تشکیل تابع هدف و قید**
* **قید (محیط فنس‌کشی شده)**: مجموع طول نرده‌ها $100$ متر است:
$$2x + y = 100$$
* **تابع هدف (مساحت)**: مساحت مستطیل ($A$) باید بیشینه شود:
$$A = xy$$
**۲. تبدیل تابع هدف به تابع یک متغیره**
از معادلهٔ قید، $y$ را بر حسب $x$ می‌نویسیم:
$$y = 100 - 2x$$
این عبارت را در تابع مساحت جایگذاری می‌کنیم:
$$A(x) = x(100 - 2x) = 100x - 2x^2$$
$$A(x) = -2x^2 + 100x$$
**۳. یافتن مقدار ماکزیمم (رأس سهمی)**
تابع $A(x)$ یک سهمی رو به پایین است ($a = -2 < 0$) و دارای مقدار ماکزیمم در رأس خود است. طول رأس $x_V$ را با استفاده از $x_V = -\frac{b}{2a}$ محاسبه می‌کنیم ($a = -2, b = 100$):
$$x_{\text{max}} = -\frac{100}{2(-2)} = -\frac{100}{-4} = 25$$
**۴. محاسبهٔ بعد دوم و مساحت ماکزیمم**
بعد $x$ که مساحت را ماکزیمم می‌کند، $x = 25 \text{ m}$ است.
بعد $y$ را با جایگذاری $x = 25$ در معادلهٔ قید محاسبه می‌کنیم:
$$y = 100 - 2x = 100 - 2(25) = 100 - 50 = 50$$
**ابعاد مستطیل**: $x = 25 \text{ m}$ و $y = 50 \text{ m}$.
**مساحت بیشینه**:
$$A_{\text{max}} = xy = 25 \times 50 = 1250$$
**نتیجه**: ابعاد مستطیل باید **$25 \text{ متر} \text{ (عرض)} \text{ و } 50 \text{ متر} \text{ (طول)}$** باشد تا مساحت آن **$1250 \text{ متر مربع}$** بیشترین مقدار ممکن گردد.
